Perduto cartesiano

De Biquipédia
Saltar pa: nabegaçon, percura
Question book.svg
Este aneixo ó seçon nó cita nanhue fuonte ó refréncia, l que cumpromete sue credibelidade (zde júnio de 2009).
Por fabor, melhore este artigo probidenciando fuontes fiables i andependientes, anserindo-las ne l cuorpo de l testo por meio de notas de rodapie. Ancontre fuontes: Googleamboras, libros, académicoScirusBing. Beija cumo referenciar i citar las fuontes.

Na Matemática, dados dous cunjuntos X i Y, l perduto cartesianoperduto direto) de ls dous cunjuntos (scrito cumo X × Y) ye l cunjunto de todos ls pares ourdenados cujo purmeiro eilemiento pertence la X i l segundo, la Y.

X\times Y = \{(x,y) \mid x\in X\;\wedge\;y\in Y\}.

L perduto cartesiano recibe sou nome de René Çcartes, cuja formulaçon de la geometrie analítica dou ourige l'este cunceito.

Por eisemplo, se l cunjunto X ye l de ls treze eilemientos de l baralho anglés

X = \{\mathrm{La}, \mathrm{K}, \mathrm{Q}, \mathrm{J}, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2\}

i l Y ye l de ls quatro naipes:

Y = {♠, &heiarts;, ♦, &clus;}

anton l perduto cartesiano desses dous cunjuntos será l cunjunto culas 52 cartas de l baralho:

X × Y = {(La, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (La, &heiarts;), ..., (3, &clus;), (2, &clus;)}.

Outro eisemplo ye l praino bidimensional R × R, adonde R ye l cunjunto de númaros reales i ls pares ourdenados ténen la forma de (x,y), adonde x i y son númaros reales (beija l sistema de cordenadas cartesiano). Subconjuntos de l perduto cartesiano son chamados de relaçones binárias, i funçones, un de ls cunceitos mais amportantes de la matemática, son defenidas cumo tipos speciales de relaçones.

Teorie de ls Cunjuntos[eiditar | editar código-fonte]

Na teorie de ls cunjuntos, i, an special, na sue formulaçon puls axiomas de Zermelo-Fraenkel, la defeniçon de

X \times Y = \{ (x, y) \ | \ x \in X \land y \in Y \}\,

nun ye sastifatória. Debemos custruir, usando ls axiomas, un cunjunto suficientemente grande para cunter todos ls pares ourdenados, i, depuis, reduzir este cunjunto al perduto escalar pul axioma de la separaçon.

Cumo un par ourdenado ye defenido por (la, b) = \{ \{la\}, \{la,b\}\}\,, tenemos qu'eilhes son cunjuntos formados por subconjuntos de l'ounion de ls cunjuntos X i Y. Ó seia, cada par ourdenado ye un subconjunto de l cunjunto de las partes de X \cup Y\,. Antoce, l axioma de la poténcia debe ser aplicado dues bezes subre la ounion de X i Y, i subre este cunjunto aplica-se l axioma de la separaçon.

Splicitamente:

X \times Y = \{ p \in P(P(X \cup Y)) \ | \ p = \{ \{x\}, \{x,y\}\}, x \in X, y \in Y \}\,

Debe-se amostrar que naide quedou de fura, ó seia, que qualquiera par ourdenado pertence al perduto scalar. Para esso, suponha que la \in X \land b \in Y\,. Anton, pula defeniçon d'ounion, la \in X \cup Y \land b \in X \cup Y\,. Pula defeniçon de l cunjunto de las partes, \{la\} \in P(X \cup Y) \land \{la,b\} \in P(X \cup Y)\,. Finalmente, aplicando-se de nuobo la defeniçon de l cunjunto de las partes, tenemos que (la,b) = \{\{la\}, \{la,b\}\} \in P(P(X \cup Y))\,.

Cardinal[eiditar | editar código-fonte]

L cardinal de l perduto cartesiano de dous cunjuntos ye l perduto de ls cardinales de ls cunjuntos andebiduales:

|X \times Y| = |X| \cdot |Y|

Generalizaçon[eiditar | editar código-fonte]

L perduto cartesiano puode ser generalizado para mais de dous cunjuntos:

X1 × ... × Xm = { (x1,... ,xm) | x1 pertence la X1 i ... i xm pertence la Xm }

ó antuitibamente (X1 × ... × Xm-1) × Xm.

Un eisemplo ye l seguinte. Seia l cunjunto L cun trés eilemientos:

{1, 2, 3}

l cunjunto M cun dous eilemientos:

{la,b},

i l cunjunto N cun 2 eilemientos:

{$, %},

l perduto cartesiano L × M × N ye:

{(1 ,la, $), (1 ,la ,%), (2 ,la ,$), (2 ,la ,%), (3 ,la ,$), (3 ,la ,%), (1 ,b, $), (1 ,b ,%), (2 ,b ,$), (2 ,b ,%), (3 ,b ,$), (3 ,b ,%)}

Un outro eisemplo desso ye l spácio euclidiano de trés dimensones \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}.

Notaçon potencial[eiditar | editar código-fonte]

Para spressar l perduto cartesiano dun cunjunto por si mesmo stá permitida la notaçon potencial:

\begin{matrix}
& \underbrace{ X \times X \times \cdots \times X } & = X^n \\ & n \mathrm{vezes}
\end{matrix}

Assi, l mencionado spácio euclidiano tridimensional puode-se repersentar cumo \mathbb{R}^3.

Perduto anfenito[eiditar | editar código-fonte]

L'ouserbaçon de que la strutura de l perduto cartesiano X^m\, ten ua strutura semelhante al cunjunto de las funçones de domínio {1, 2, ..., m} i eimaige X sugere que l perduto cartesiano puoda ser generalizado para anfenitas parcelas, cumo un cunjunto de funçones.

Seia \Lambda\, un cunjunto (nó-bazio), chamado de cunjunto de índices. Seia X_{\lambda}\, un cunjunto defenido para cada índice \lambda \in \Lambda\, (eilhes puoden ser eiguales ó nó). Anton l perduto destes cunjuntos ye defenido por:

  • \prod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} = \{ f : \Lambda \rightarrow \bigcup_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} \ , \ f(la) \in X_la \} \,

Eisemplo[eiditar | editar código-fonte]

Seia \Lambda = \mathbb{N^\star}\,, ó seia, stamos andexando puls númaros naturales (sin l zero). Seia X_i = \{ 1, 2, \ldots, i \} \,. Anton \prod X_i\, ye l cunjunto de las sequéncias de númaros naturales an que l purmeiro termo ye 1, l segundo termo ye 1 ó 2, l terceiro termo ye 1, 2 ó 3, etc.

Axioma de la Scolha[eiditar | editar código-fonte]

Un resultado paradoxal ye que, usando ls axiomas usuales de la Teorie de ls Cunjuntos sin ancluir l axioma de la scolha, nun ye possible amostrar que l perduto de cunjuntos nó-bazios ten algun eilemiento.

Projeçon canónica[eiditar | editar código-fonte]

Las funçones mais amportantes que ten cumo domínio un perduto cartesiano son las projeçones canónicas.

Ne l causo fenito, la i-ésima projeçon canónica ye la funçon que retorna la i-ésima cordenada.

Ó seia:

  • \pi_i(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_m) = x_i\,

Ne l causo anfenito, cumo cada eilemiento de \Pi_{\lambda} X_{\lambda}\, ye ua funçon, tenemos que:

  • \pi_{\lambda}(f) = f(\lambda)\,

Eisemplos[eiditar | editar código-fonte]

  • An \mathbb{R}^2\,, las dues projeçones canónicas son:
\pi_1(x, y) = x\,
\pi_2(x, y) = y\,
  • Ne l cunjunto de las sequéncias de númaros reales, que puode ser bisto cumo l perduto \Pi_{i \in \mathbb{N^{\star}}} \mathbb{R}\,, la i-ésima projeçon canónica ye la funçon que retorna l i-ésimo eilemiento. Por eisemplo:
\pi_{10} (2, 4, 8, 16, \ldots) = 1024\,

Perdutos de Struturas Matemáticas[eiditar | editar código-fonte]

Bárias struturas matemáticas son mantidas, dua forma natural (canónica) al se passar pa ls perdutos cartesianos. Por eisemplo:

Todos estes cunceitos puoden ser unificados usando-se l perduto categorial, defenido na Teorie de las catadories.