Perduto cartesiano

Na Matemática, dados dous cunjuntos X i Y, l perduto cartesiano (ó perduto direto) de ls dous cunjuntos (scrito cumo X × Y) ye l cunjunto de todos ls pares ourdenados cujo purmeiro eilemiento pertence la X i l segundo, la Y.

$X\times Y=\{(x,y)\mid x\in X\;\wedge \;y\in Y\}.$

L perduto cartesiano recibe sou nome de René Çcartes, cuja formulaçon de la geometrie analítica dou ourige l'este cunceito.

Por eisemplo, se l cunjunto X ye l de ls treze eilemientos de l baralho anglés

$X=\{\mathrm {La} ,\mathrm {K} ,\mathrm {Q} ,\mathrm {J} ,10,9,8,7,6,5,4,3,2\}$

i l Y ye l de ls quatro naipes:

Y = {♠, &heiarts;, ♦, &clus;}

anton l perduto cartesiano desses dous cunjuntos será l cunjunto culas 52 cartas de l baralho:

X × Y = {(La, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (La, &heiarts;), ..., (3, &clus;), (2, &clus;)}.

Outro eisemplo ye l praino bidimensional R × R, adonde R ye l cunjunto de númaros reales i ls pares ourdenados ténen la forma de (x,y), adonde x i y son númaros reales (beija l sistema de cordenadas cartesiano). Subconjuntos de l perduto cartesiano son chamados de relaçones binárias, i funçones, un de ls cunceitos mais amportantes de la matemática, son defenidas cumo tipos speciales de relaçones.

Teorie de ls Cunjuntos

Na teorie de ls cunjuntos, i, an special, na sue formulaçon puls axiomas de Zermelo-Fraenkel, la defeniçon de

$X\times Y=\{(x,y)\ |\ x\in X\land y\in Y\}\,$

nun ye sastifatória. Debemos custruir, usando ls axiomas, un cunjunto suficientemente grande para cunter todos ls pares ourdenados, i, depuis, reduzir este cunjunto al perduto escalar pul axioma de la separaçon.

Cumo un par ourdenado ye defenido por $(la,b)=\{\{la\},\{la,b\}\}\,$, tenemos qu'eilhes son cunjuntos formados por subconjuntos de l'ounion de ls cunjuntos X i Y. Ó seia, cada par ourdenado ye un subconjunto de l cunjunto de las partes de $X\cup Y\,$. Antoce, l axioma de la poténcia debe ser aplicado dues bezes subre la ounion de X i Y, i subre este cunjunto aplica-se l axioma de la separaçon.

Splicitamente:

$X\times Y=\{p\in P(P(X\cup Y))\ |\ p=\{\{x\},\{x,y\}\},x\in X,y\in Y\}\,$

Debe-se amostrar que naide quedou de fura, ó seia, que qualquiera par ourdenado pertence al perduto scalar. Para esso, suponha que $la\in X\land b\in Y\,$. Anton, pula defeniçon d'ounion, $la\in X\cup Y\land b\in X\cup Y\,$. Pula defeniçon de l cunjunto de las partes, $\{la\}\in P(X\cup Y)\land \{la,b\}\in P(X\cup Y)\,$. Finalmente, aplicando-se de nuobo la defeniçon de l cunjunto de las partes, tenemos que $(la,b)=\{\{la\},\{la,b\}\}\in P(P(X\cup Y))\,$.

Cardinal

L cardinal de l perduto cartesiano de dous cunjuntos ye l perduto de ls cardinales de ls cunjuntos andebiduales:

$|X\times Y|=|X|\cdot |Y|$

Generalizaçon

L perduto cartesiano puode ser generalizado para mais de dous cunjuntos:

X₁ × ... × X_m = { (x₁,... ,x_m) | x₁ pertence la X₁ i ... i x_m pertence la X_m }

ó antuitibamente (X₁ × ... × X_m-1) × X_m.

Un eisemplo ye l seguinte. Seia l cunjunto L cun trés eilemientos:

{1, 2, 3}

l cunjunto M cun dous eilemientos:

{la,b},

i l cunjunto N cun 2 eilemientos:

{$, %},

l perduto cartesiano L × M × N ye:

{(1 ,la, $), (1 ,la ,%), (2 ,la ,$), (2 ,la ,%), (3 ,la ,$), (3 ,la ,%), (1 ,b, $), (1 ,b ,%), (2 ,b ,$), (2 ,b ,%), (3 ,b ,$), (3 ,b ,%)}

Un outro eisemplo desso ye l spácio euclidiano de trés dimensones $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$.

Notaçon potencial

Para spressar l perduto cartesiano dun cunjunto por si mesmo stá permitida la notaçon potencial:

${\begin{matrix}&\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} &=X^{n}\\&n\mathrm {vezes} \end{matrix}}$

Assi, l mencionado spácio euclidiano tridimensional puode-se repersentar cumo $\mathbb {R} ^{3}$.

Perduto anfenito

L'ouserbaçon de que la strutura de l perduto cartesiano $X^{m}\,$ ten ua strutura semelhante al cunjunto de las funçones de domínio {1, 2, ..., m} i eimaige X sugere que l perduto cartesiano puoda ser generalizado para anfenitas parcelas, cumo un cunjunto de funçones.

Seia $\Lambda \,$ un cunjunto (nó-bazio), chamado de cunjunto de índices. Seia $X_{\lambda }\,$ un cunjunto defenido para cada índice $\lambda \in \Lambda \,$ (eilhes puoden ser eiguales ó nó). Anton l perduto destes cunjuntos ye defenido por:

• $\prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\{f:\Lambda \rightarrow \bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\ ,\ f(la)\in X_{l}a\}\,$

Eisemplo

Seia $\Lambda =\mathbb {N^{\star }} \,$, ó seia, stamos andexando puls númaros naturales (sin l zero). Seia $X_{i}=\{1,2,\ldots ,i\}\,$. Anton $\prod X_{i}\,$ ye l cunjunto de las sequéncias de númaros naturales an que l purmeiro termo ye 1, l segundo termo ye 1 ó 2, l terceiro termo ye 1, 2 ó 3, etc.

Axioma de la Scolha

Un resultado paradoxal ye que, usando ls axiomas usuales de la Teorie de ls Cunjuntos sin ancluir l axioma de la scolha, nun ye possible amostrar que l perduto de cunjuntos nó-bazios ten algun eilemiento.

Projeçon canónica

Las funçones mais amportantes que ten cumo domínio un perduto cartesiano son las projeçones canónicas.

Ne l causo fenito, la i-ésima projeçon canónica ye la funçon que retorna la i-ésima cordenada.

Ó seia:

• $\pi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{m})=x_{i}\,$

Ne l causo anfenito, cumo cada eilemiento de $\Pi _{\lambda }X_{\lambda }\,$ ye ua funçon, tenemos que:

• $\pi _{\lambda }(f)=f(\lambda )\,$

Eisemplos

• An $\mathbb {R} ^{2}\,$, las dues projeçones canónicas son:

$\pi _{1}(x,y)=x\,$

$\pi _{2}(x,y)=y\,$

• Ne l cunjunto de las sequéncias de númaros reales, que puode ser bisto cumo l perduto $\Pi _{i\in \mathbb {N^{\star }} }\mathbb {R} \,$, la i-ésima projeçon canónica ye la funçon que retorna l i-ésimo eilemiento. Por eisemplo:

$\pi _{10}(2,4,8,16,\ldots )=1024\,$

Perdutos de Struturas Matemáticas

Bárias struturas matemáticas son mantidas, dua forma natural (canónica) al se passar pa ls perdutos cartesianos. Por eisemplo:

• l perduto cartesiano de grupos ye un grupo.
• l perduto cartesiano de spácios betoriales subre l mesmo cuorpo ye un spácio betorial.
• l perduto cartesiano de topologies ye ua topologie, la topologie perduto.

Todos estes cunceitos puoden ser unificados usando-se l perduto categorial, defenido na Teorie de las catadories.