Sequéncia (matemática)

Ua sequéncia ye ua lista ourdenada d'oubjetos, númaros ó eibentos^{[sin fuontes?]}. Frequentemente ne ls deparamos cun situaçones an qu'enumeramos eilemientos dun cunjunto seguindo ua detreminada ourdenaçon:

De la sucesson de ls persidentes dun paíç;
De la sequéncia de ls eipisódios dua menissérie de telebison;

Repare qu'hai dous aspetos amportantes na sequéncia: l tipo^{[sin fuontes?]} i la orde de ls eilemientos. Todos ls eilemientos dua sucesson son de l mesmo tipo^{[sin fuontes?]} (por eisemplo: solo persidentes) i oubedecen ua ourdenaçon (por eisemplo: purmeiramente ocorre l purmeiro eipisódio de a menissérie, depuis l segundo eipisódio, depuis l terceiro eipisódio...).

An matemática, ua sequéncia (ó ua sucesson) ye ua lista (cunjunto) de númaros (ó bariables que ls repersenten). Formalmente, la sequéncia ye ua lista cuja orde ye defenida por ua "lei", ua funçon specífica.

Defeniçon formal

Ua sucesson ye defenida cumo sendo un cunjunto $S,$ dotado de las seguintes caratelísticas:

Todos ls sous eilemientos son de l mesmo tipo (por eisemplo: capítulos dua telenobela);[sin fuontes]
Ls eilemientos tamien son chamados tenermos de la sucesson;
Cada termo ten ua posiçon defenida, drento de l cunjunto $S;$
La posiçon de cada termo ye detreminada por un númaro natural, chamado índice;
Cada termo ten un único índice, i cada índice pertence a un único termo (correspondéncia biuníboca);
dous tenermos solo puoden ser permutados se ls sous respetibos índices tamien fúren.

Sequéncia de númaros reales

Ua sequéncia de númaros reales ye ua funçon f:N→R pa la qual denotamos l balor de f an m por f_m, an beç de f(m). Este termo f_m ye dezido cumo sendo l m-ésimo termo de la sequéncia, que tamien puode ser repersentada por {f₁, f₂, f₃, f₄...} ^[1]^[2].

Tipos de sequéncias

Eesisten sequéncias nun numéricas, cumo S₁ = (demingo, segunda-feira, terça-feira) i S₂ = (1º de dezembre, 2 de dezembre, 3 de dezembre,..., 29 de dezembre, 30 de dezembre, 31 de dezembre), mas las numéricas son de maior antresse pa la Matemática. Eilhas puoden ser classeficadas d'acuordo cun dibersos critérios:

Sequéncia monótona?	Sequéncia lemitada?	Sucessones fenitas: possuen un númaro fenito de tenermos	Sucessones anfenitas: possuen un númaro anfenito de tenermos
Si: sequéncia crecente (ocorre se $\forall m\in \mathbb {N} :la_{m}<la_{m+1};$ )	Lemitadas superiormente i anferiormente	S₃ = (1, 2, 3, 4, 5, 6); S₄ = (-59, -32, 21, -1, 0, 1, 2, 3, -5, 933); S₈ = (la₁, la₂)	Nun ye possible que la sequéncia seia al mesmo tiempo crecente, anfenita i lemitada.
	Sequéncia lemitada (solo) superiormente: eisiste un númaro rial b tal que x_m ≤ b, para to natural m, ó inda, x ( b] m ∈ (−∞,b] ^[3]	Nun ye possible qu'ua sequéncia seia al mesmo tiempo fenita i elimitada (seia superiormente, anferiormente ó ambos)	S_m = (...-6, -5, -4, -3, -2, -1)
	Sequéncia lemitada (solo) anferiormente: quando eisiste la∈R tal que la_m ≤ x , ∀m∈ N^[3]		S₅ = (1, 2, 3, 4, 5, 6...)
	Nó, sequéncia ilimitada (quando nun ye lemitada).^[3]		S_m = (...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...)
Si: sequéncia nun crecente	Lemitadas superiormente i anferiormente	x	x_m=1 para to m pertencente al cunjunto de ls númaros naturales. Esto define la sequéncia custante (1,1,1,1,1,...,1,...); eilha ye eibidentemente lemitada, nun decrecente i tamien nó crecente.^[4].
	Sequéncia lemitada (solo) superiormente	Nun ye possible qu'ua sequéncia seia al mesmo tiempo fenita i elimitada (seia superiormente, anferiormente ó ambos)	S₉ = (la₁, la₂, la₃, la₄, la₅,..., la_m...) causo esta seia ua sucesson numérica i la₁ seia l menor númaro
	Sequéncia lemitada (solo) anferiormente		Nun ye possible; ua sequéncia nun crecente ye siempre lemitada superiormente pul sou purmeiro termo, por eisemplo ^[5].
	Nó, sequéncia ilimitada		Nun ye possible; ua sequéncia nun crecente ye siempre lemitada superiormente pul sou purmeiro termo, por eisemplo.^[5]
Si: sequéncia decrecente	Lemitadas superiormente i anferiormente	Eisemplo	Nun ye possible que la sequéncia seia al mesmo tiempo decrecente, anfenita i lemitada.
	Sequéncia lemitada (solo) superiormente	Nun ye possible qu'ua sequéncia seia al mesmo tiempo fenita i ilimitada (seia superiormente, anferiormente ó ambos)	S₆ = $\left({\frac {1}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},\ldots \right)$
	Sequéncia lemitada (solo) anferiormente		Eisemplo
	Nó, sequéncia elimitada		Eisemplo
Si: sequéncia nun decrecente	Lemitadas superiormente i anferiormente	Eisemplo	x_m=1 para to m pertencente al cunjunto de ls númaros naturales. Esto define la sequéncia custante (1,1,1,1,1,...,1,...); eilha ye eibidentemente lemitada, nun decrecente i tamien nó crecente.^[4]
	Sequéncia lemitada (solo) superiormente	Nun ye possible qu'ua sequéncia seia al mesmo tiempo fenita i elimitada (seia superiormente, anferiormente ó ambos)	Nun ye possible; ua sequéncia nun decrecente ye siempre lemitada anferiormente pul sou purmeiro termo, por eisemplo.^[5]
	Sequéncia lemitada (solo) anferiormente		Eisemplo
	Nó, sequéncia ilimitada		Nun ye possible; ua sequéncia nun decrecente ye siempre lemitada anferiormente pul sou purmeiro termo, por eisemplo.^[5]
Nun	Lemitadas superiormente i anferiormente	S₁₀ = $\left({\frac {1}{1}},-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}}\right)$	x_m= 0 para m par i 1 para 1 ímpar. La sequéncia assi defenida ye (1,0,1,0,...). Sou cunjunto de balores ye x(N)={0,1}. La mesma sequéncia poderie ser defenida perla fórmula x_m=(1/2)[1+(-1)^m+1] ó anton por x_m= sen²(mπ/2). Esta sequeéncia ye lemitada i nun ye monótona.^[4]
	Sequéncia lemitada (solo) superiormente	Nun ye possible qu'ua sequéncia seia al mesmo tiempo fenita i elimitada (seia superiormente, anferiormente ó ambos)	Eisemplo
	Sequéncia lemitada (solo) anferiormente		Eisemplo
	Nó, sequéncia ilimitada		S₇ = $\left({\frac {1}{1}},-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}}...\right)$

Ouserbe que:

S₂ ten mais tenermos que S₁, mas ambas son sucessones fenitas: S₁ ten 3 tenermos (3 purmeiros dies de la sumana) i S₂ ten 31 tenermos (ls 31 dies de l més de dezembre);
Las sucessones S₃ i S₅ parécen ser eiguales, mas S₃ ten solo 6 tenermos, anquanto que las reticéncias an S₅ andican que la cuntaige de sous tenermos jamales tremina;
Las sucessones S₆ i S₇ parécen ser eiguales, mas an S₆ todos ls tenermos ténen senhal positibo, anquanto qu'an S₇ ls tenermos cun chamador par ténen senhal negatibo;
Nin to sucesson ye "bonitenie": muitas bezes ls tenermos seran mui defrentes uns de ls outros, i eidantificar un padron antre eilhes será tan defícel que permanecerá çconhecido. Un bun eisemplo çto ye la sucesson S₄;
L purmeiro termo de la sucesson S₉ ye la₁, l segundo termo ye la₂, l terceiro termo ye la₃, i assi por delantre. La notaçon la_m ye outelizada para repersentar un termo genérico de la sucesson. Cumo la_m ye l termo de índice m, dezimos qu'el ye l m-ésimo (ó enésimo) termo de la sucesson. Ye amportante notar que la_m nun puode ser l "radadeiro" termo de S₉, pus S₉ ye ua sucesson anfenita, i ua sucesson anfenita nun ten un "radadeiro termo".

Strutura

Ua sucesson S, gerada pula funçon bijetora f a partir de l domínio D. Este domínio ye l cunjunto de ls índices de la sucesson.

Filosoficamente, to sucesson ten ua lei de formaçon (ó seia: la lei que gerou ls tenermos de la sucesson). Inda assi, esto nun garante que siempre será possible screbé-la. Quando fur possible screbé-la, deziremos que la sucesson $S$ efetibamente ten ua lei de formaçon.

Se la sucesson $S$ efetibamente tenr ua lei de formaçon i esta lei podir ser scrita usando notaçon matemática, deziremos qu'esta lei ye la funçon $f:\mathbb {N} \mapsto S,$ an que ${\color {CadetBlue}\mathbb {N} }$ ye l cunjunto de ls índices i $S$ ye l cunjunto de ls tenermos que son gerados a partir daqueles índices.

Na figura al lado, ouserbe que:

D i S son cunjuntos numéricos fenitos;
L cunjunto D ye un subconjunto de $\mathbb {N} ;$
D ye l domínio de la funçon f;
S ye l cuntradomínio de la funçon f;
Ls eilemientos de l cunjunto D son ls índices de la sucesson S;
La funçon f, atrabeç de sue fórmula (ó spresson, ó sentença), outeliza ls índices de l cunjunto D para gerar ls eilemientos de l cunjunto S (tenermos de la sucesson S);
La spresson de f ye f(m) = 2 . m. Esto senefica qu'esta funçon "fabrica" tenermos que son l dobro de l balor de sous índices respetibos.

Eesistindo la funçon matemática $f,$ sue spresson será cumpuosta por ua ó mais funçones eilementares, i por esto deziremos:

Que la spresson de la funçon $f$ ye la fórmula de l termo giral; i
Que la sucesson $S$ ten repersentaçon matemática cerrada (dada pula fórmula de l termo giral).

Assi, ua sucesson ó sequéncia matemática $S$ ye l resultado de l'aplicaçon de la funçon matemática $f$ subre cada eilemiento de $\mathbb {N} .$

Eisemplos

1) Seia la sucesson $S$ defenida pula funçon $f:\mathbb {N} \mapsto S$ tal que $f(m)=2^{m}.$

Cumo $f(m)=2^{m},$ sabemos que la cada índice m (pertencente la $\mathbb {N}$ ) eisistirá un termo respetibo $2^{m}$ (pertencente la $S$ ).

Antoce, $S=(1,2,4,8,16,32...)$

La correspondéncia antre cada termo de la sucesson $S$ i l sou índice puode ser repersentada nua tabela, cumo segue:

índice →	0	1	2	3	4	5	...	m
fórmula de l termo →	2⁰	2¹	2²	2³	2⁴	2⁵	...	2^m
termo →	1	2	4	8	16	32	...	2^m

2) Outro bun eisemplo de sequéncia ye l'enumeraçon ourdenada crecente de ls númaros naturales nó-nulos ( $\mathbb {N} ^{*}$ ):

$S=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12...).$

Neste causo, la funçon $f:\mathbb {N} \mapsto S$ ye tal que $f(m)=m+1.$

Tal qual ne l'eisemplo anterior, podemos outelizar ua tabela para repersentar ls índices i tenermos de la sucesson, assi cumo la relaçon qu'oubtén cada termo a partir de l sou índice:

índice →	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	...	m
fórmula de l termo →	0+1	1+1	2+1	3+1	4+1	5+1	6+1	7+1	8+1	9+1	10+1	11+1	...	m+1
termo →	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	...	m+1

Se $S$ fur l cunjunto de ls anteiros ( $\mathbb {Z}$ ), anton tratar-se-á dua sucesson anteira. Se $S$ fur un cunjunto de polinómios, anton tratar-se-á dua sucesson polinomial.

An ciertos causos, puode-se falar an cumbergéncia i an dibergéncia de la sucesson. Esto ye çcutido an mais detalhes ne l'artigo subre lemites.

La sintaxe na notaçon matemática

Para repersentar ua sucesson, tamien ye quemun l'uso de la notaçon { $la_{m}$ }. Mas, ls matemáticos mais formales tenden a rejeitar este formato. L motibo ye qu'an matemática faç-se uso de las chabes siempre que se zeia repersentar un cunjunto atrabeç de l'enumeraçon de ls sous eilemientos, ó quando se zeia çpor de la sue lei de formaçon. Assi, puode-se por eisemplo screbir l cunjunto La = {2,4,8,16,32,64,128,256}, ó inda repersentá-lo por La = {2^k | $k\in$ {1,2,3,4,5,6,7,8}}.

Nota: l cunjunto L'arriba tamien puode ser antendido cumo l cunjunto de todas las poténcias de base 2 i spoente k, an que k ye un númaro natural que pertence al cunjunto {1,2,3,4,5,6,7,8}. Antoce, La = {2¹,2²,2³,2⁴,2⁵,2⁶,2⁷,2⁸} = {2,4,8,16,32,64,128,256}.

L porblema ye que, an teorie de ls cunjuntos, la orde i la frequéncia cun que ls eilemientos aparecen i se repeten nada afetan la strutura de l cunjunto. Antoce, se B = {8,256,64,16,2,128,64,8,4,32,256,128,2}, cada un de ls eilemientos de B eisiste tamien an La (i al alrobés), i l fato d'alguns eilemientos de l cunjunto B se repetiren puode (i debe) ser eignorado, pus eilemientos repetidos son cumputados solamente ua beç, sendo andiferente repersentar B por {8,256,64,16,2,128,64,8,4,32,256,128,2} ó sinteticamente por {8,256,64,16,2,128,4,32}. Antoce, ambora l'orde an qu'aqueilhes eilemientos apareçan ne ls dous cunjuntos seia defrente, i ambora an B alguns eilemientos se repitan, na berdade L'i B ténen satamente ls mesmos eilemientos. Por bias desso, puode-se afirmar que La = B.

Por outro lado, quando se zeia repersentar un par ourdenado, úsan-se ls parénteses: (x,y). De l mesmo modo, ua tripla ourdenada poderie ser repersentada por (x,y,ç) i ua quádrupla ourdenada de númaros anteiros poderie ser repersentada por (-1000,2,68,-19).

La defrença eissencial antre l par {x,y} i l par (x,y) ye la queston de l'orde: ne l causo de l par {x,y} l'orde nun amporta, antoce l par {y,x} ye eigual al par {x,y}, i ambos repersentan un cunjunto que ten dous eilemientos: x i y.

Yá l par ourdenado (x,y) ye defrente de l par ourdenado (y,x), pus neste causo l'orde amporta (dende l'uso de la palabra ourdenado). Esto splica l motibo por que, ua beç que ls pares (2,3) i (3,2) son defrentes — i essa defrença stá justamente na posiçon acupada por cada un de sous eilemientos — ye necessairo qu'esses pares séian repersentados antre parénteses, al ambés d'antre chabes.

De maneira similar al causo de ls pares ourdenados, ua sucesson ten ua orde (detreminada pul índice de cada eilemiento de la sucesson), i por esto escrebir {1,2,3,4,5} ye defrente de screbir (1,2,3,4,5). Ne l causo de l cunjunto {1,2,3,4,5}, l'orde nun amporta, antoce l cunjunto tamien poderie ser repersentado por {5,3,1,2,4}, i stá correto screbir {1,2,3,4,5} = {5,3,1,2,4}. Yá ne l causo de l cunjunto ourdenado (1,2,3,4,5), tamien chamado énupla ourdenada ó m-upla ourdenada, debido a la persença de m tenermos ó eilemientos na sucesson (m = 5, neste causo), antressa la posiçon acupada por cada eilemiento, i antoce (1,2,3,4,5) ye defrente de (5,3,1,2,4).

Finalmente, tenendo an bista qu'ua sucesson ten noçon d'orde (debido al stablecimiento dun índice de posiçon para cada eilemiento de la sequéncia), ye amportante repersentar l cunjunto de ls m eilemientos de la sucesson atrabeç de la m-upla ourdenada (la₁,la₂,la₃,la₄,...,la_m), l que puode ser abrebiadamente repersentado por (la_m), i un matemático mais formal rejeitará la forma {la_m} por antender que, neste segundo causo, la noçon d'orde fui çprezada.

Recurson

Nota: causo sinta deficuldade cul simblos outelizados nesta seçon, ó mesmo neste artigo, cunsulte ls artigos que tratan de notaçon matemática, simbologie matemática i lógica matemática. Tamien ye altamente recomendable cunsultar la tabela de simblos matemáticos.

Puode-se defenir ua sucesson de modo recursibo. Este modo cunsiste an stablecer un ó mais tenermos eniciales i, a partir del(s), atribuir ua lei de formaçon an que cada nuobo termo dependa de l(s) termo(s) antecedente(s).

Ls tenermos eniciales (ó geradores) debiran tenr índice menor que l de l termo que se zeia gerar. Eisemplo: para que seia possible gerar recursibamente l termo la_m, ye necessairo qu'eisista pul menos un termo de índice menor que m.

Assi, fixado un cunjunto de custantes C = {c₀,c₁,c₂,c₃,c₄,c₅,c₆...} ( $\subset \mathbb {N}$ ), ua sucesson recursiba genérica natural $S$ (cun termo la₀ $\in \mathbb {N}$ pré-defenido) puode ser defenida por ua funçon $g:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ que tenga la seguinte forma: $la_{m}=\sum _{i=0}^{m-1}c_{i}.la_{i},\forall c,i,m\in \mathbb {N} \land \forall m>0$

Note que, ne l'eisemplo arriba, debemos tener $m>0,$ ua beç que la₀ yá stá pré-defenido. Antoce, se la₀ = w (un balor natural qualquiera) i zeiamos ancontrar l balor de la₁, tenemos que rializar la seguinte sequéncia de cálclos: $a_{1}=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}.a_{i}{\begin{matrix}_{_{(n=1)}}\\\Rightarrow \end{matrix}}a_{1}=\sum _{i=0}^{1-1}c_{i}.a_{i}\Rightarrow a_{1}=\sum _{i=0}^{0}c_{i}.a_{i}\Rightarrow a_{1}=c_{0}.a_{0}\Rightarrow a_{1}=c_{0}.w$ (RESPOSTA)

De l mesmo modo, se zeiarmos ancontrar l balor de la₂, deberemos rializar la seguinte sequéncia de cálclos: $a_{2}=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}.a_{i}{\begin{matrix}_{_{(n=2)}}\\\Rightarrow \end{matrix}}a_{2}=\sum _{i=0}^{2-1}c_{i}.a_{i}\Rightarrow a_{2}=\sum _{i=0}^{1}c_{i}.a_{i}\Rightarrow a_{2}=c_{0}.a_{0}+c_{1}.a_{1}$

$\Rightarrow la_{2}=c_{0}.w+c_{1}.(c_{0}.w)\Rightarrow la_{2}=c_{0}.(w+w.c_{1})\Rightarrow la_{2}=c_{0}.w.(1+c_{1})\Leftrightarrow la_{2}=c_{0}.(1+c_{1}).w$ (RESPOSTA)

Ne l causo arriba, la scolha de las custantes de l cunjunto C fui aleatória. Mas, puode-se tamien oubter essas custantes de forma sistemática. La títalo d'eisemplo, séian fixadas dues custantes naturales k i m (cun k > m). Las custantes c_i puoden ser oubtidas a partir dua funçon $j:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ tal que $j(i)=c_{i}=k.i-m,\forall c,i,k,m\in \mathbb {N}$

Esse tipo de sucesson puode quedar inda mais cumplicado, bastando defenir ua funçon r que, por eisemplo, "trasforme" la i-ésima custante natural c_i nun númaro rial ( $\mathbb {R}$ ) ó cumplexo ( $\mathbb {C}$ ). Eisemplo:

$r:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} ={\sqrt[{3}]{\frac {-x}{4}}},\forall x\in \mathbb {N} \Rightarrow la_{m}=\sum _{i=0}^{m-1}{r(c_{i})^{i}.la_{i}},\forall c,i,m\in \mathbb {N}$

Nota: ouserbe que, ne l'eisemplo arriba, $r(c_{i})^{i}\in \mathbb {R}$

Sucesson recursiba

Eesisten dues modalidades de sucesson recursiba mui coincidas an matemática: la Progresson Aritmética (P.La.) i la Progresson Geométrica (P.G.).

La defrença eissencial antre las dues ye que:

Na P.La., cada termo ye eigual a la soma de l termo anterior cun ua custante chamada "rezon de la P.La.". Esta rezon ye giralmente repersentada pula letra r;
Na P.G., cada termo ye eigual al perduto de l termo anterior por ua custante chamada "rezon de la P.G.". Esta rezon ye giralmente repersentada pula letra q.

An P.La. i P.G., la funçon f que las çcribe ten domínio an $\mathbb {N} ^{*}.$ Esto senefica que l purmeiro termo de la progresson será f(1) (ó anton la₁), al ambés de f(0) ó la₀.

Progresson Aritmética

La Progresson Aritmética ye ua sucesson recursiba $\mathbb {La}$ defenida assi:

$la:\mathbb {N} ^{*}\mapsto \mathbb {La}$

(defeniçon de la funçon la)

$la_{m}=la_{1}+(m-1).r$

(fórmula de l termo giral)

$la_{m}=la_{m-1}+r$

(fórmula de la recurson aritmética, que ye outra maneira de se calcular $la_{m}$ )

$la_{1}$ i r son custantes prebiamente defenidas

Eisemplos de P.La.:

( $la_{1}$ = 1, r = 1): $(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)$
( $la_{1}$ = -3, r = 5): $(-3,2,7,12,17,22,27,...)$
( $la_{1}$ = 13, r = -3): $(13,10,7,4,1,-2,-5...)$

Progresson Geométrica

La Progresson Geométrica ye ua sucesson recursiba $\mathbb {G}$ defenida assi:

$g:\mathbb {N} ^{*}\mapsto \mathbb {G}$

(defeniçon de la funçon g)

$g_{m}=g_{1}.q^{(m-1)}$

(fórmula de l termo giral)

$g_{m}=g_{m-1}.q$

(fórmula de la recurson geométrica, que ye outra maneira de se calcular $g_{m}$ )

$g_{1}$ i q son custantes prebiamente defenidas

Eisemplos de P.G.:

( $g_{1}$ = 1, q = 1): $(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...)$
( $g_{1}$ = 3, q = -1): $(3,-3,3,-3,3,-3,3,-3,...)$
$(g_{1}=16,q={\frac {-1}{2}}):(16,-8,4,-2,1,{\frac {-1}{2}},{\frac {1}{4}}...)$

Ber tamien

Ligaçones sternas

The On-Line Ancyclopedie of Anteger Sequences - Para detreminar la lei de formaçon dua sequéncia, a partir d'alguns de sous tenermos;

A Wikipédia possui o
Portal da Matemática.

Refréncias

↑ CATTAI, Adriano Pedreira. Análeze matemática I. Ounibersidade de l Stado de la Bahia (UNEB). 2º semestre 2008. Çponíbel an: <http://cattai.webnode^{[lhigaçon einatiba]} .com/ansino/uneb/analiseun/>. Acesso an: 09 janeiro 2011. Páigina 38.
↑ LIMA, Eilon Lages. Curso d'análeze belume 1. 11ª eidiçon. 2004. Capítulo 4, páigina 100.
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 FORTIUM – Grupo Eiducacional. Sequéncias numéricas. Çponíbel an: <http://www.fortiun^{[lhigaçon einatiba]} .com.br/faculdadefortiun .com.br/jefferson_arruda/material/2_Sequencias_numericas_Funcoes.pdf>. Acesso an: 9 jan 2011. Páigina 2.
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 LIMA, Eilon Lages. Curso d'análeze belume 1. 11ª eidiçon. Páigina 103.
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 LIMA, Eilon Lages. Curso d'análeze belume 1. 11ª eidiçon. Páigina 102.

Ábila, Giraldo Sebero de Souza. Análeze matemática para licenciatura. Edgard Blucher. ISBN 85-212-0295-4
Lima, Eilon Lages. Análeze rial. Riu de Janeiro: IMPA.
Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis. 2 ed. New York, McGraw-Hill, 1964.
Michael Spibak. Calculus. Publish or Perish, 2008. ISBN 978-0-914098-91-1.
.com.br/faculdadefortiun .com.br/jefferson_arruda/material/2_Sequencias_numericas_Funcoes.pdf Splicaçon de 6 páiginas subre sequéncias matemáticas^{[lhigaçon einatiba]}

Este sobre matemática ye un rabisco. Tu puodes ajudar la Biquipédia spandindo-lo.

[1] CATTAI, Adriano Pedreira. Análeze matemática I. Ounibersidade de l Stado de la Bahia (UNEB). 2º semestre 2008. Çponíbel an: <http://cattai.webnode^{[lhigaçon einatiba]} .com/ansino/uneb/analiseun/>. Acesso an: 09 janeiro 2011. Páigina 38.

[2] LIMA, Eilon Lages. Curso d'análeze belume 1. 11ª eidiçon. 2004. Capítulo 4, páigina 100.

[FORTIUM-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 FORTIUM – Grupo Eiducacional. Sequéncias numéricas. Çponíbel an: <http://www.fortiun^{[lhigaçon einatiba]} .com.br/faculdadefortiun .com.br/jefferson_arruda/material/2_Sequencias_numericas_Funcoes.pdf>. Acesso an: 9 jan 2011. Páigina 2.

[Eilon-103-4] 4,0 ^4,1 ^4,2 LIMA, Eilon Lages. Curso d'análeze belume 1. 11ª eidiçon. Páigina 103.

[Eilon-102-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 LIMA, Eilon Lages. Curso d'análeze belume 1. 11ª eidiçon. Páigina 102.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]