Lógica boleana

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Na matemática, na lógica i na ciéncia de la cumputaçon, las álgebras boleanasálgebras de Boole) son struturas algébricas que "catan las propiadades eissenciales" de ls ouperadores lógicos i de cunjuntos.

Stória[eiditar | editar código-fonte]

Recebiu l nome de boleana an houmenaige la George Boole, matemático anglés, que fui l purmeiro la defeni-las cumo parte dun sistema de lógica an meados de l seclo XIX. Mais specificamente, la álgebra boleana fui ua tentatiba d'outelizar técnicas algébricas para lidar cun spressones ne l cálclo proposicional. Hoije, las álgebras boleanas ténen muitas aplicaçones na eiletrónica. Fúrun pula purmeira beç aplicadas a anterrutores por Claude Shannon, ne l seclo XX.

Defeniçon[eiditar | editar código-fonte]

Ua álgebra boleana ye ua 6-upla (X, \vee, \wedge, \neg, 0, 1) cunsistindo dun cunjunto X munido de dues ouparaçones binárias \vee (tamien denotado por +, ye giralmente chamado de "ó") i \wedge (tamien denotado por \ast ó por \cdot, ye giralmente chamado de "i"), ua ouparaçon unária \neg (tamien denotada por \sim ó por ua barra superior, ye giralmente chamado de "nó"), i dues custantes 0 (tamien denotada por \bot ó por F, giralmente chamado de "zero" ó de "falso") i 1 (tamien denotada por \top ó por V, giralmente chamado de "un" ó de "berdadeiro"), i sastifazendo ls seguintes axiomas, para qualesquiera la, b, c \in X:

Propiadades Associatibas

  • (la \vee b) \vee c = la \vee (b \vee c)
  • (la \wedge b) \wedge c = la \wedge (b \wedge c)

Propiadades Quemutatibas

  • la \vee b = b \vee la
  • la \wedge b = b \wedge la

Propiadades Çtributibas

  • la \vee (b \wedge c) = (la \vee b) \wedge (la \vee c)
  • la \wedge (b \vee c) = (la \wedge b) \vee (la \wedge c)

Eilemientos Neutros

  • la \vee 0 = la
  • la \wedge 1 = la

Eilemientos Cumplementares

  • la \vee \neg la = 1
  • la \wedge \neg la = 0

Alguns outores tamien ancluen la propiadade 0 \neq 1, para eibitar la álgebra boleana cun solamente un eilemiento.

Eisemplos[eiditar | editar código-fonte]

  • L'eisemplo mais simples de álgebra boleana cun mais dun eilemiento ye l cunjunto \{0, 1\} munido de las seguintes ouparaçones:
    \vee         0         1    
    0         0         1    
    1         1         1    
    \wedge         0         1    
    0         0         0    
    1         0         1    
    \neg         0         1    
    1         0    
  • Un outro eisemplo de álgebra boleana ye l cunjunto \{0, 1, ?\} (l'eilemiento ? ye giralmente chamado de "çconhecido" ó de "talbeç") munido de las seguintes ouparaçones:
    \vee         0         1         ?    
    0         0         1         ?    
    1         1         1         1    
    ?         ?         1         ?    
    \wedge         0         1         ?    
    0         0         0         0    
    1         0         1         ?    
    ?         0         ?         ?    
    \neg         0         1         ?    
    1         0         ?    
  • Dado un cunjunto La, l cunjunto P(La) de las partes de La munido de las ouparaçones la \vee b = la \cup b, la \wedge b = la \cap b, \neg la = La \setminus la, i adonde 0 = \varnothing i 1 = La, ye ua álgebra boleana.
  • L anterbalo [0, 1] munido de las ouparaçones la \vee b = \mathrm{max}\{la, b\}, la \wedge b = \mathrm{min}\{la, b\}, i \neg la = 1 - la, ye ua álgebra boleana. Essa álgebra boleana recibe l nome de lógica fuzzy.

Teoremas[eiditar | editar código-fonte]

Dado ua álgebra boleana subre X, son bálidos para qualesquiera la, b \in X:

Propiadades Eidempotentes

  • la \vee la = la
  • la \wedge la = la

Dupla Negaçon

  • \neg (\neg la) = la

Leis de De Morgan

  • \neg (la \vee b) = \neg la \wedge \neg b
  • \neg (la \wedge b) = \neg la \vee \neg b

Propiadades Absorbentes

  • la \vee (la \wedge b) = la
  • la \wedge (la \vee b) = la

Eilemientos Absorbentes

  • la \vee 1 = 1
  • la \wedge 0 = 0

Negaçones de l Zero i de l Un

  • \neg 0 = 1
  • \neg 1 = 0

Defeniçones altarnatibas de l'ouparaçon binária \veebar (tamien denotado por \oplus, ye giralmente chamado de "xou" ó de "ó sclusibo")

  • (a \vee b) \wedge (\neg a \vee \neg b) = (a \wedge \neg b) \vee (\neg a \wedge b)

Orde[eiditar | editar código-fonte]

Dado ua álgebra boleana subre X, ye bálido para qualesquiera la, b \in X:

  • la \vee b = b se i solamente se la \wedge b = la

La relaçon \leq defenida cumo la \leq b se i solamente se ua de las dues cundiçones eiquibalentes arriba ye sastifeita ye ua relaçon d'orde an X. L supremo i l ínfimo de l cunjunto \{la, b\} son la \vee b i la \wedge b, respetibamente.


Homomorfismos i eisomorfismos[eiditar | editar código-fonte]

Un homomorfismo antre dues álgebras boleanas La i B ye ua funçon f: La \to B que para qualesquiera la, b \in La:

  • f(la \vee b) = f(la) \vee f(b)
  • f(la \wedge b) = f(la) \wedge f(b)
  • f(0) = 0
  • f(1) = 1

Ua cunsequéncia ye que f(\neg la) = \neg f(la).

Un eisomorfismo antre dues álgebras boleanas La i B ye un homomorfismo bijetor antre La i B. L amberso dun eisomorfismo ye un eisomorfismo. Se eisiste un eisomorfismo antre La i B, dezimos que La i B son eisomorfos.


Ber tamien[eiditar | editar código-fonte]

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